Some number-theoretical constants: 1000-digit values

Some number-theoretical constants:
1000-digit values

(see the introductory page for some explanations)

The Big Table

This table gives the full values to 1002 decimal digits.

Note on formatting of the multi-line digit strings:

The raw HTML has forced line breaks after the 67th column. If you want to paste the numbers into some calculator, you may have to do so line by line, or to insert escape characters (maybe paste them into a text editor first), or to set your calculator software's input processing to ignore line endings. (In gp, it may be a good idea to use braces {....} around the input.)

Table entries are structured as follows: entry number; numerator f, denominator g and starting prime p₀ repeating the corresponding entries in the overview table; then some computational details: size beta of the largest characteristic root, suitable choices for the cutoffs p1 and M and for the working precision wp (in digits); a short mnemonic where appropriate (hyperlinked back to the overview table); beginning of the sequence of zeta exponents; then the computed full-precision value. Sometimes this is followed by a modification of this value by an elementary factor to obtain the form of the constant which arises in its `natural' context.

#	f	g	p₀	beta	p1, M, wp	note
	e[k]
value
01	`1`	`p(p-1)`	`2`	1.61804	41, 769, 1215	Artin's
	`[0, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 5, 8, 11, 18, 25, 40, 58,...]`
0.37395581361920228805472805434641641511162924860615004209474280241 7350182040028082344304317087250568981603906684726306892164063898810 2172488214240511648074688474732446190316098375630506508175207397645 8876161134610488557710895423001568593930861519821929642278412653212 5244466355213639166532148577760847770575614106561790747673010180152 3834700979012941585934497045575775038261284118716994281028142115314 2036264703556131331947295631469607736716406952926852216413988130891 9849653905380283513984198532153783661009992969375741288698893807079 2344830973486210808921921878270276889967089069326398137400176788725 5208161085359328734788241648239623954848113039227397597864113180807 5284312680251949287748937850433208186901363098622293262348364966537 9584657923892328366673001212172126824119215427225308878008335267195 1982335057403019303630767771830606746868867991878737057085632141350 1889973479946121120834579501172965785460587371707657249964547353679 884468141886104542087846835994670548028055671229800106121823971926
02	`1`	`p²(p-1)`	`2`	1.46559	37, 774, 1182	Rk 2 Artin
	`[0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 14,...]`
0.69750135849636590328467035082092292407315394621451539535437875288 6459110596095566666154838513071879599463894776328703483179570334130 6142550499416984291708087548829836233719771422038982035205724782692 1623940950467162920146583179030475442934482700448181393069272915786 0293773957574838379628147357478850375605325171119771102621712639404 0799237086264683217138804653552907851886975102893703278716864991547 0853972479081314600037860837544178206826845351488207211643416895358 2729435530939757741225063660193422836829859923542454209109420084104 5638698795534381817420309335110490613401049819165833813660038857745 3445817443959831008454153866501637735621725676457415899606140506059 7394498661912069008370501614105424495033963981222271536401866673547 0568646603137976744461015730149468662166484932780768241182609037952 7436172258097440646679464865932388783861911547559048406588270572329 1339907106774811294266075951571834059804190330967915540614536137578 910718359264207773199941640184080632470207773162762007733480613207
03	`1`	`p³(p-1)`	`2`	1.38029	31, 777, 1162	(-)
	`[0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 5, 6,...]`
0.85654044485354217442616798413595388216657280031765214032548321616 9431449803598963928323113082592071341732397793711072879441844392527 3170965101242470985109711219895250166588911715144318845025095194212 7179678634422159826239398756967008151785673576233510444544101851788 6227501499402983653116757195501234838272759132559450341382193253134 6629560778002788730841387483550015377574556491648348266230754296626 4257716474527728704042506085574886698919490231541051141778391347938 1110163964610518413057523106332983442618493159344889180306345720173 3420470892229336068540729360463434109352485482131967077963733249253 3086478970862803049921379589842248349161122651202900323108972833156 5550968223519828379737366357912233205328100380726110300674087350293 5705282882853008241870837265021334948401960343278612584328340249329 9820480305333311708715349369468168541399573064034875238819011410202 1806081336006555872447662515902271220216337351882445478264320536499 162188859961976557274598457462960931657296486457285806112811937480
04	`1`	`p⁴(p-1)`	`2`	1.32472	31, 779, 1148	(-)
	`[0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3,...]`
0.93126518416000433438923720555067698255842373458780105901698771545 9543360286823851582512896481089515979037518814636931676037360294846 1784603430231867210402147189173708144008629001401910934669763387895 0609510687896888605740126917324561896063512766556333333289970440828 3758364505545711792210465372500436795565040965100690928746852088438 2953562250947761915519463916663858127783328524422056654603301851581 7847551621611892496278697399697177234644922138590287559861832812427 3379808011188876948842568564405575039487337717258049706290660550021 3992510369808192141789755756472881775819470425817089773631336060400 5216078170611409376212315973027609695194489654338191381473365697649 1454685686538452121728470691211965538955085082980258741541368693017 8476576581049588045985965888136265751145331931871316950265369757071 4358169117801290675633650326588047997296159467412986118094729523325 9590920427119610218620197010232023469311865306943392908449096628074 996984697509346138351424125668175702920496573449880827719887195427
05	`1`	`(p-1)²`	`3`	2.00000	53, 759, 1285	Twin Prime
	`[0, 1, 2, 3, 6, 9, 18, 30, 56, 99, 186, 335, 630, 1161,...]`
0.66016181584686957392781211001455577843262336028473341331944842333 5405642304495277143760031413839867911779005226693304002965847755123 3662277471657132139869687410976206302141537354348531315960978036699 3213525529976719930247459059310108297829155383446929750520591665713 3653611991532464281301172462306379341060056466676584434063501649322 7235289680109349664756004788123579627894598424336557493755818548141 7362867809870596949870384124336338658931196907915004057371781437108 1810615401233104810577794415613125444598860988997585328984038108718 0355252617198871121363828087823497223742240971426974417644552252655 4899482977179097778404375789195659064999456706290782860882839599039 4287082529070521554595671723599449769037800675978761690802426600295 7110920996337082725592846721298580011486979418554018246398874939417 1182852838236599705032872570808798066220106863047430520199239428201 4311102297265141514194258422242375342296879836738796224286600285358 098482833679152235700192585875285961205994728621007171131607980572
06	`3p-1`	`(p-1)³`	`5`	3.00000	79, 739, 1412	Hardy-Littlewood `C₃` and `D`
	`[0, 3, 8, 18, 48, 116, 312, 810, 2184, 5880, 16104, 44220, 122640, 341484,...]`
0.63516635460427120720669659127252241734206568733237245089973446048 6784613116139188208029138676404617596950181369512784007475876056607 4918151559420557581289947725408016238733991397134805337666800837591 4909528856359002660779253631212403666937154598683300353320236632264 7655391224720578859713116240131104936819770649312091495436393758113 7090603043816273406642192974429153775656088021269613920735304869999 9594682013275818614791855518736660969858616981633124478977574531015 3981355201725159702919134263517705024561068817577147611625034338720 0078745331726235676494026074868693099386789074174829118170068782561 0298685148354459794614306824616332075551814448222255312403485102728 7707194170256574777453862801481162511955765294149299557485965803905 5954741742066575969256600753032255341040653829222663624180973616036 0542093061721531651254186189027949102437525556648045745643213046656 4314293248157032981416825512347134772737502574677435484204993898747 255556542890876377314909064040912684440337117227266972488209799821
The constant `D` is 9/2 times the above:
2.85824859571922043243013466072635087803929559299567602904880507219 0530759022626346936131124043820779186275816162807528033641442254733 7131682017392509115804764764336073074302961287106624019500603769161 7092879853615511973506641340455816501217195694074851589941064845191 4449260511242604868709023080589972215688967921904411729463771911511 6907713697173230329889868384931191990452396095713262643308871914999 8176069059741183766563349834314974364363776417349060155399085389569 2916098407763218663136104185829672610524809679097164252312654524240 0354353992768060544223117336909118947240550833786731031765309521524 6344083167595069075764380710773494339983165017000148905815682962279 4682373766154586498542382606665231303800943823671848008686846117575 1796337839299591861654703388645149034682942231501986308814381272162 2439418777746892430643837850625770960968865004916205855394458709953 9414319616706648416375714805562106477318761586048459678922472544362 65000444300894369791709078818410707998151702752270137619694409919
07	`6p²-4p+1`	`(p-1)⁴`	`5`	4.00000	113, 726, 1498	Hardy-Littlewood `C₄` and `E`
	`[0, 6, 20, 60, 204, 670, 2340, 8160, 29120, 104754, 381300, 1397740, 5162220, 19172790,...]`
0.30749487875832709312335448607107685302217851995066392829830839626 0888767296692994813840264681714938395115740213167346768322568151405 7300876000136209076635138355106564506463815729483039103376577631243 9296902388699878399296559500236787552270628533286970892844959043082 3638043107251750382860742561049362855975738040695861229920051397251 9937328941639026135815941232991021716733569678565837125230515642406 9737591497820900359968133305064947418958908377224778062006692070008 5715129497897648104948444645274210159320235051137074597743779136523 1380703958962908716289348475188012223660238150469034093883607874178 7465587221251772841700475741804644384642767104092475235435894406970 6336248810138558103578540256109692625777985702368284538309630461530 7394843855514648244256936848400546082036752211021575107550070268931 6785183719135947749844978820069370263167251887899220439073584228466 6235662836431549471626511047837821530483737047865433366836933260529 568624544765134765677614573530943622214665322517583006711336659462
The constant `E` is 27/2 times the above:
4.15118086323741575716528556195953751579941001933396303202716334952 1998358505355429986843573203151668334062492877759181372354670043977 3561826001838822534574367793938620837261512348021027895583798021793 0508182247448358390503553253196631955653485199374107053406947081611 9113581947898630168620024574166398555672463549394126603920693862901 9153940712126852833515206645378793175903190660638801190611961172494 1457485220582154859569799618376790155945263092534503837090342945115 7154248221618249416804002711201837150823173190350507069541018343062 3639503445999267669906204415038165019413215031331960267428706301413 0785427486898933362956422514362699192677355905248415678384574494103 5539358936870534398310293457480850448002806981971841267180011230664 9830392049447751297468647453407372107496154848791263951925948630577 6599980208335294622907214070936498552757900486639475927493387084299 4181448291825917866957899145810590661530450146183350452298599017149 17643135432931933664779674266773889989798185398737059060304490273
08	`10p³-10p²+5p-1`	`(p-1)⁵`	`7`	5.00000	149, 717, 1564	Hardy-Littlewood `C₅`
	`[0, 10, 40, 150, 624, 2580, 11160, 48750, 217000, 976248, 4438920, 20343700, 93900240, 435959820,...]`
0.40987488508823647447878121233795527789635801325494546982633639882 2648236173965965154608454499620281954165948805210930084713394013883 2352946625224813554397733017716344628976318952428480364675436798531 3631424531313280041555411671197607497662242199573345498952119423443 9630039498866919618567027970433387127024209871400430707783486203926 3189715744518057480221645099861011086036805716997077304954760637385 5162068093764415823795361915073087481863674023558756402655580510195 9350396143200674925541232583642299777559687519362141243333962948949 5776591575681486212564345291696483943310362625891143096632676349503 1484435994387251096518257143660344446822026566460280342648008386012 7105434651419065317068589517752730507758734215253750408496468170003 1546432081158683273724057796381026621982613932251208112588953586322 7019214122029328104331479451018644676047267014305477049097678289982 0898674657669303031726608200454382883928565333982855825691016570895 138527756249611486314442828538160456726947459650482607506126454238
10	`1`	`p(p+1)`	`2`	1.61804	41, 769, 1215	Carefree
	`[0, 1, -1, 1, -2, 3, -4, 5, -8, 13, -18, 25, -40, 62,...]`
0.70444220099916559273660335032663721018858643141709804941422684259 1097056682006778536808244145693133767638211758927304994095176024880 3535013093626544085605424863542430414966332406001676083658554802210 7551024281702216229379975399228048296546029856660336835820513010607 9016196979697076641940307366123308709384552484653425580361187702234 8139235265181708226609563116628408846890290064834398138419948328753 2200144124587374155204662894552593812211859025784203648686898427656 1069210013298947500560079233960003804317819255946669463026077578822 5231780564256057238672150606659674103814049255876799553007820074926 3931288535221456710735476940245788898330459988232109220643204667671 6202679390474346944496842839163211412634580646058573249667008028227 1382533493105133064207607887474508919859230900603419230465239721034 1085989249587294803993762590135190772944734985637140024505432923059 7806291494813721467219580648656858834123862704706380900561428328516 894503987888905069266519088530686132042591482734268423155042160038
The "Carefree" Constant is `6/pi²` times the above, so it could have been computed directly using `f=2p-1` and `g=p³`:
0.42824950567709444021876570758182354612129851335593614403190137953 2123052161083044105348514524680685548075734471826650670760298782532 2029020604060068872957155467531214708560837232055335316153577177457 0482542822555429728369673827524394805461958039757294897057125556400 6624326244822264521782047909356846676624987867336263801297580183603 6095872858878702715405185700702300669800703618949244707447592443583 3072347066035143381258632087548636618095851414372462746651544594359 5374388523973047948241330515549288601237668132387315374086632831991 3246010134512415356953087179354091747782072813337285294968186962362 8780039083545296412027784036672563171865927493781572878549331696444 5382432248740067189326836281378269545698518578961240522465858492456 2058476229327095343032142666180616303010934447390304497100144256604 7514509388318857498071376858252763401235767089941961538218483385265 6242709172820693357405550716893691334855583096871173560177526671757 519238439288428663514376486101692284238897841668021682172217568317
11	`1`	`p²(p+1)`	`2`	1.15098	29, 787, 1100	Quad. class no.
	`[0, 0, 1, -1, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 0, 0, 1, -1,...]`
0.88151383972517077692839182290322784712986925720807673367016853554 8657906379416974102204551797020963150503152860820101637213520159224 5284784564050610639661909619641460236145278741353060839467042617741 1022275409953135093094071330258083000296124162719065050873629000971 9004424738146398331883127571963441617204924021400096969829633871652 0655066923615887180022495427289949639987807617145398385322626118533 7835058764789431097958056571151870348745943556620548437207722719751 6346036832194138414842224929357814013796612218938123782220222907856 0565946236774645515046329698637601736546889463938316621833573455162 3997261465623155542438411579849467910657478158802693564967106829218 8598339096371124141720335570259760691945403472239185040748169912231 3923304779668150404420345441726937211005048340294657623754673221414 7290264820364635986749460462952834987861281399775037348449837500287 2097687563753117533577260105598073911201299661899126971302907795122 909785099280958956338773598864550352491151441877144668180370762851
12	`1`	`p³(p+1)`	`2`	1.38029	31, 777, 1162	(-)
	`[0, 0, 0, 1, -1, 1, -1, 1, -2, 3, -3, 3, -5, 7,...]`
0.94773326214367537593952153765418961303363163231741385282875108890 9323329478989987139534412826134498234813055079851083278699331275880 8446185385881401338391019296544266581657219950078196837645090787255 8946829595918866692349816054346621606631511470000288580251038587771 1271305984156820451100291343412928287252214894502804617414908125427 6301748112897066323348175958111079180934254710017617646904833738818 9732688430774429844108007864113894627563990450546530864162492436151 7863664365684996271136923796430021963979157818747875150090474778330 7771526717095226973936495550277838006236061029181551059230315517386 1567723415952118234087080087961406418826749767395542278301050338825 7275693962787836297644175991417897630685236232590401502643699952736 7805379859223739821108550185770558874464623346482828715286367920077 6859508251815592502454750490509057247095667314158819348882580429935 2930655924959744762327576471834051110245547813079365325705393943379 962553866432117661506158700453966768188065868755119599026873670544
13	`1`	`p⁴(p+1)`	`2`	1.18740	29, 785, 1111	(-)
	`[0, 0, 0, 0, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 0, 1, -1, 1,...]`
0.97582415304766824167901143659479983197176497122921260944251577324 4206267068583608366546185636857318326082651821131175790840627596274 6154625077821264408850142447371517066434448529756962159604379770851 1678403398806154105624527233863774623511116837725464013409863060502 6711728812409887685411797231265388157143669166859440219889225294210 6005397735266776413741601550145670497880052580454718258457056863205 4799412982872556573279362691381011629563445529591750115746547896212 2663942799896652253579075776346876530212739959402575151463509353175 9258393355398956397947168094793874548209034406466795901076074399906 7802288310271656378313395925232268234981358366076805707438967066692 8619401944709177589608755018501981274149284060443441840791828979259 5516562847724795053387156606218618123003391902513105498498990109963 8786946320619409526908559185717828775738051938648442605459080614567 9514436573760403849680164373202589552466180675042666353048142442068 711256385218837965853791503721427668991077709721762136984028304733
14	`1`	`p⁵(p+1)`	`2`	1.28521	29, 781, 1138	(-)
	`[0, 0, 0, 0, 0, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -2, 3,...]`
0.98850439774124690875110662385118666440095808327534618812051392624 4057847573085793518880075367725735727567897905902721787450234612609 9765357211448245043941223496571062493830851604030652892172379219386 0533567957452258079504361817490605487633679287729805177827487258221 4038434264013726759962622378840099746627421405171797372945828311217 6008561392075290389672106291924164329959171269216915602320195952912 8852318806240956676840639853507364831077642401398621478384795872944 8689011505947493521876304473754303509000950769199645936938615517641 1706037770172252806780868315379064131334751033933037631158257183217 7867073935014265994465284269237249095666116064052415587636049495536 2954784180593243125880390314374239572328816421499751284486927159231 6505311056072294043323832897161875826429333227736623087880369061119 1773084909737196775501654969375932896067444054944271866074238818332 3020687522600529028780720869646998179730742030901591389991041847084 108362574734719083537808756225274072384809743146869282372467056211
15	`1`	`p²-1`	`2`	1.41422	37, 776, 1171	(-) see 25 below
	`[0, 1, 0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 6, 0, 9, 0, 18,...]`
0.53071182047204479497294377247297717094786102220986040347581904928 0905067926095790638638192456362354797673785488419375823225617869542 4163838893429525950926320228544011831907621590681875940432601467490 9615185268667161211466311983609638493473688915074496898501848449441 9996537887499884625845037452312725175667562420250622741636539360500 4645601597598544996586422894405124493461305522256792979251890234835 5335510572858384570864333294198808602279234059706759060779296921160 2879090889386797079053406519157633936493095532360386666133387102626 1981263500378713041910093159654043985894780327254594970942158861165 7403938647710353765672077881612045745483016328697456663877135799025 9274383713391580983323763021954045419220540846184108182710030286986 3524889673416443659057666457566387405484816385782542900977315183798 6001967975864222503850864376510809540649105273683300866854074911285 4066783307937486773093209176245343326102155463679370844435266198148 786991873790174839786468472608411835618388738443652129931195290059
16	`1`	`p(p²-1)`	`2`	1.32472	31, 779, 1148	(-)
	`[0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3,...]`
0.78816250003022070057694959305350396895616368469356930335251429212 7541329419785464042486544069881233615482786225351799670569748712112 7860837213645460385281107597681381025900117474561725172174729152915 1295348163605089194880208933621625791602069696472508642994612880847 2331799622710230109327796065477274118990726803919521842369723470586 0691399100336148476004671664361507455779210660025196006887554417386 0692874112473406627978054467511359706095206587015858581319593512584 5153703939522356331844808364971804088014553690634145568102886702794 6753820203800940872837668972093779329300070561758074623699680732023 8685249550997360401673600396210959888827325226400153760017559165873 8966320272810227613106218182851981857246724367276769781044361355577 9658466265785992725326029428699566556041410794113408087652879474162 7745999823038362176840602141021661326881753397171461365624534011978 3553472812779840891913713893648796747243968686282886988329497430897 040366981662483142021664276101843504953113357436889401507807478159
17	`1`	`p²(p²-1)`	`2`	1.27202	29, 781, 1135	(-)
	`[0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 2, 0, 2, 0, 4,...]`
0.90192603958708217137771520255047193415255545315555535835843332728 9293781072568157523890499901033807777782909080303343462850611523725 2276177088931569947522463893685899552730058735311254309114751298963 1360145624691535949206208047621729180652587499026409867186757795732 3865687998641409367561284546861473041972083381611446309852302614590 9404901408540749825674475307117777468795254395960800810107265381214 4648041628439488209449059328616879115862791629872302433218210899440 5949121124292879446825284412211660316422455308917020787058657026293 2203491898705428969821443831829817809758985766014803990220315711152 5953733219019395581417481713763055607305605351988226623377255402486 2936284401838016031197496019593935267033527768059364103528148677000 6427822929630384659742342256274556964006237503758825635579386210831 8283674710740234707324579626325165293426883068178817926104009741610 4256225300901452529511767308248627304290404465902879250722816243430 146175871904964684887305721564566205039463188493977508569568483113
20	`1`	`(p+1)²`	`2`	2.00000	53, 759, 1285	Strongly Carefree
	`[0, 1, -2, 3, -6, 11, -18, 30, -56, 105, -186, 335, -630, 1179,...]`
0.77588351000389549962040428442790061148241346597301627622106311646 1387649249745699537193132331281420447378209173762958174025828930248 3546113726246496733902646299186651878052399665407249567441044369797 6352158996747405572789320128706366436579490002927560821430122170274 9944398552253729672637847027089188287009311887895590423343047684848 3843396772191036107985890824976711192744856663619726243788387856631 5731981439911115683297995038527603963573622750097022248233013838406 7930209119696252044008113330253012109908823382739535247979329074322 1040332630954779535620896245270482438486105428237518216422288665918 4382276049338968875138098385803474061165702606008407646709116800157 6907230870665088367448895963528331442054855477983089174756831737635 1353183291592255030288651555488698888365340014425963644617725249935 2876713776927990949667913438252716898400754121637972613817200583923 4729690843271539887367815849707527572981244193635954881825370940389 726799566603047130259832477757754735325767939839441488377910526286
The "Strongly Carefree" Constant is `36/pi⁴` times the above, so it could have been computed directly using `f=3p-2` and `g=p³`, or with a factor `6/pi²` using `f=2` and `g=p(p+1)`:
0.28674742843447873410789271278983844643433184409705699564147785933 6652243131943258248912682553742374685364782404004941632558109679613 5041336982819353267930601474024859925900156872699465465663098581204 0169905360813454474333201479361448899645097142528069743176751938315 0052615922068489170043315320353937453150816914366759001967254436548 8759743945517863346920263175426775512491976349958365575939674740610 8704458660331835762500337486363314999523808306671651936682564814785 4251951263542818460082569570553975834583350796762200375953137124089 7602955987466619422332221402517604440934713551895566862940859315793 3222695911995202999118274229804275582203798559505848540688326540848 5070295861982693201099426015709602142203213140495253305715030392419 9028936228869732243300593232533166211016449593385159971898139845510 1509666280418504003514170175046537560513452026939925936205952041101 9755715149640365864128647263776027205044065766375807115112999732118 066607433321034181557502573274989847764713370467568121721729909871
25	`2`	`p²`	`2`	1.41422	37, 776, 1171	Feller-Tornier Constant
	`see 15 above, 6/pi² times that value [0, 2, 0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 6, 0, 9, 0, 18,...]`
0.32263409893924467057953169254823706657095057966583270996181125245 3250063486244609884523481568563755217727313617068916296899347238212 4373817487640881502781229236131237766348451198234631561074021189488 3846175043263251922048678355127784574154155685009562294677107694005 6742791768844703335790054436443278975686146089380456018073948581246 3061367343499425915859665995220390725854820383793735002770792013695 7270630621163226093160566914020184689219184424755237742603859000924 4500920328120664399723801441593541112096588073701398418039047844081 7794928955118433494072102938546727371562815001079692933162485530521 4411530000375834046196090116636464444229078848754489763542014139672 7529476784951344774202108284943304496654717773969588768606384873215 0403149432370242887662233668555869559377748951834596045533139959058 3600163804760240435206281826317817273677191916597110862737401265016 2601551691024621826586047038695963001797597493258833217118957097429 848523117402891051889604484035936205691877002232107446032875083130
The density of interest equals one half of 1 plus the above, to wit:
0.66131704946962233528976584627411853328547528983291635498090562622 6625031743122304942261740784281877608863656808534458148449673619106 2186908743820440751390614618065618883174225599117315780537010594744 1923087521631625961024339177563892287077077842504781147338553847002 8371395884422351667895027218221639487843073044690228009036974290623 1530683671749712957929832997610195362927410191896867501385396006847 8635315310581613046580283457010092344609592212377618871301929500462 2250460164060332199861900720796770556048294036850699209019523922040 8897464477559216747036051469273363685781407500539846466581242765260 7205765000187917023098045058318232222114539424377244881771007069836 3764738392475672387101054142471652248327358886984794384303192436607 5201574716185121443831116834277934779688874475917298022766569979529 1800081902380120217603140913158908636838595958298555431368700632508 1300775845512310913293023519347981500898798746629416608559478548714 924261558701445525944802242017968102845938501116053723016437541565
30	`p+2`	`p³`	`3`	1.52138	37, 772, 1195	Sarnak's
	`[0, 1, 2, 0, 2, 1, 2, 4, 4, 5, 10, 11, 18, 25,...]`
0.72364840229820000940884914980912759904178375157307702917611988979 1258835251431526269285214977313290931399766720831607762203423179153 9664461060283433398604946494387556620877995277771035417452972618578 8102126261065030882476545115846332478012260482743008048227766844566 9816517238984420175043530506526219391395759780365763045314078503417 5608302155154102773813309314240021533384076030430327405424664509634 6819747155913185524693598987684910639368742568671612597325623637093 5581386030499494259262551098058712341386339537319959589642789768341 2784129046138960263437877770852800260338613706223528361226466703742 8497913094365612111813917336520618636129083522836348423921304097713 6653330919468233335324631811242156182854914773977585771255030313385 2771436912730305162127077253539290618791584025438596999541327415525 6023538595457905362797186184578989852472127673505080594638043761708 5338150973546731647023040610627871799015377194206523805489480892320 037977267525203312387287933469067848116651219266072565034380595367
Of course, up to a factor of 1/2 we could equally well have started at `p₀=2` here. The constant in Sarnak's work is `5pi²/48` times the above:
0.74397119335037474468655960758565000098600869286132787331951238917 2246743056979534062523621818717259204386203699264309819169604885926 3005808626898461349067982295583526488106585201582988854408683192815 3094872448671074173575133873739036365219088183017840551339589568039 0902046585081734157339472895448782303589268220922258842265114405887 2934002625723242525545595540835194453725814624197548591881592264337 5839090111732700280691958383210210351641362971756067562269734819207 1452325613155727407701756474739634642949824143070456461182624036269 6380250239144805307111717586482425815969811923726517399113008019021 4865296861380353148754683177108679700362908007211988116193729616716 6230589129563469665027295157429156097908178448705571784554765969457 9631463944792797910621737466144396718103464926433040000893112980634 7044031362593453042085186586386781489872339844294916127964959449137 9463108737772808258237079980702826077606254275623088615138313818513 700984959592658442344615502668908644552317185838795264519878537589
32	`p`	`p³-1`	`2`	1.32472	31, 779, 1148	Stephens'
	`[0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3,...]`
0.57595996889294543964316337549249669250651396717649236360064079866 5372551698868528436409872091726189590060856599542340785045263745645 7404049104665719890184010552957689216587352871597960321396119343038 2603847600939731819572394149525128284658769508195560256927451619112 3260393656129691994767789194661368283865599663009922496487168432052 0977203014856093898106755099005824637594527753043478773182782439810 3444357046478030393326250894482658848986366342572414198759145590423 0747996064815091811410006901830726321665367641947831465880532354755 0530356737561507850620544704433800483471197604266521720211098113823 0290259916809108350085258458530584154035462968144983130843734593503 0654309509034479853379436918976961249258771127916092439567113020520 7107337781932868471727380622111915456931039523928568518845002252844 1864377066953935698497642327164519269204318979295643317577634971690 1359126453604280580804112612643933195260350746797267161924963858842 044476266819406394315771053233266471750787298577170459008673460191
40	`1`	`p²-p-1`	`3`	2.00000	53, 759, 1285	(-)
	`[0, 1, 1, 2, 4, 7, 14, 25, 48, 88, 168, 310, 590, 1103,...]`
0.71546823598995584509477470571172807767597624898376776742672476944 2495355551975585683315554090901134641372360836007132277776505317253 0488220161750008274010873451223188332818894659543363154565475798550 7704972514879412075739271753378790249540619152479093223925765375654 5008925982617759302779611807163760421479036603485813775056948556477 2221359518641616727235960217048514781923942628393514145907488691174 7556763277726172580401853171483205063472031262584270462592010625145 3667478976434299801280173026033753355261004594215852736089875962106 4962609063832691617947942496310408770917325882164991074323560136156 2528030599994030545554040462827792358676529776316247610914292314502 9831962109989206007906615038548851680644393539675583174392093722574 8475088434883361132826294008606505608822789628940466677594359809016 7239989820526774778642204646227176495130721257492485028820744710357 6792642365648624300795976982521963503699960916631095199921368266817 252727730544968564142438099712993113788243125834741640703044038834
41	`1`	`p²+p-1`	`2`	2.00000	53, 759, 1285	(-)
	`[0, 1, -1, 2, -4, 8, -14, 25, -48, 92, -168, 310, -590, 1117,...]`
0.66958029053906236763502569561243422721733982541623302562465462633 0983661995472457145756626038696385105216292838850229548839536785183 9923025265326637933264502796962173570033103499914828792787681384321 0254425352535975879146197156201264207421608394274573561417862800279 9521930401192471430301718634354490987266673968005279925355469553394 2271035260421386510507023041188254335997858739814631559941383658898 9651549351294813970193985479035314566833420157136754499735430363404 8674261146748105904585303620647245090645252324374389042756799590668 9372700523270028699613177997224600891647674484007744034954986795957 6652480675105776284196821043757423298477028736489365931094207625578 1598206756299353788410311252888244937784950324336972905508421389130 1831544978025019654082929247414454898640490063763022312590646973206 0553268957191673591036456540015518105339449471438890582155292635420 6812735669100679533277062890770628000652902454377606235390194592042 696018506820098629859953273545195168033924340466567258110028535209
42	`1`	`p²-2`	`2`	1.73206	41, 766, 1238	(-)
	`[0, 1, 0, 2, 0, 6, 0, 15, 0, 42, 0, 107, 0, 294,...]`
0.38894518997956192931157878976445091267654495427569586474143209837 0039123319179032809797277596086919536123136395068857885726727573184 2359135645707255647952070116955918762888369877093384676539566708476 5367867561700425737851276727932854251592148404878351952970217101201 6708795620339876043306474404336021818110975548290205547914570291226 3784977606849561993412720963001586200359192459199860118362037109507 6358200746222618498595444078414860244880008262817323764589158791582 1429960672879087668179772412533008037316950456620269484762348359233 0739650694265151001196821512262790140463827931050920021704031960479 6117159920656330202860366935414973853291449875221556837483123021714 2294481028866640458115814032624782140630534734941238535971137749317 8060894252143385472192499961442566735494423639762700440697158075226 8346130080343713996313646757471844677388337399005302177330481915551 0474805457962858961677890951407491548690649039728683671571889390737 362737831617739804114496277644725835443702455389535578560394877008
45	`p⁹ - (p-1)⁷(p²+7p+1)`	`p⁹`	`2`	6.85412	223, 703, 1652	Heath-Brown&Moroz's
	`[0, 27, -105, 540, -3024, 17325, -101520, 608580, -3709440, 22884120, -142581600, 895820940, -5667792480, 36072847800,...]`
0.00131764115485317810981735232251358595125073432329525167879254742 1786023444096108950908340644695820645789152140794636159415957650661 1097360901960891336180722448898609920273917471163639790689791467998 7946398128746480402495627658188785344281132824612739163484083125721 6303016051690644491401903362526654533479566521961498800977522457007 7258551503608289005558026118622224595248053178442408422196714027310 2009820192247794049166745136935410917414834251635500299223855059060 2615971745528706764254279139155744102736240170239519278068430672259 0203497644996200887999149658796297627787603013973051207002165557307 0389181334687849896719452049089084397102829532966432903848091130080 5752656550840560890657322882645201019664003595942660639137528631233 9008272736654322492780063961123802531615562162516235509161913480095 0539713260738653279437122157887661135178156833783703810688781765141 5220292548515198545973679245781085509734047643671766096752134674150 7991699603429128203572587863729274801360919108873110999267973233707 1
52	`-1`	`p²(p-1)`	`2`	1.15097	29, 787, 1100	Totient
	`[0, 0, -1, -1, -1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, -1, -1,...]`
1.33978415357434724659915258651488605277524224978818280666301506764 6794827276009823737343664408504540660369100535501720618753886168046 9086072737574046198336074670971274805617202423752219782691314626373 6317693838877418988096415515171047127605530026344673112160562512099 2929213358465544853576651169104625836766003171183555335301762686023 8904681701854688887650701809049603675570957479715634205874284330733 9706798225323441811713063758622380403696610967087293632912537368082 0764253773541107773952532665167524511856311004895114266339007820934 1171471252057052298217095714417025129635558517295472751700495161219 5628006110936700920963978794667630972344801311935356048861292362245 1103365512885038182986366452589845640576020550396038538612665747345 4476241106014235878667376776407212731303252105590064191381046727910 5178212579381826385643499856977175108832140107226834790494263306568 7447148237463170743859695296196725970448907909750784234413430453754 86527600891967715175845318947494214047525485505450093117197638254
The Totient Constant proper is `pi²/6` times the above, so it could have been computed directly using `f=-p` and `g=(p-1)²(p+1)`:
2.20385659643785978787282831648008966256717319378785863417049554487 1668868118526954975726604190139562536376774899453209139279054430925 6203576257953886377810642254716018370635031975553180446907002006018 4085572722289777740667986466930203381217958509781417329777852935572 8673543837343350301452341632810241564109148137518730746428552392887 7111194431773845623412046789573944538676615144820607322525769800470 1627099421840571352842429527737038356431191721253701842240423696638 4770551259141482036336411967797421288878124422381636827531300972339 7145525603191708289946807488883696155381846634234813006209755453812 3074171233815058022823338061818426926245916495998517888980553100512 1164401789475879688873026164169440957650494546013536349001515543812 5945212335716767338934004830003056344661087526614147764979649344803 8294695083239302594395170896410223046903832182078072840144498749222 0767330055979463457730972984759070706520065970649573454557105740145 04774049264568683560633520282295132586932151862548803011529416406
55	`-1`	`(p-1)²`	`2`	1.41422	37, 776, 1171	Murata's
	`[0, -1, -2, -2, -2, 1, 2, 5, 4, 1, -6, -10, -10, -1,...]`
2.82641999706759157554639174723695374901304110545926687617974583453 0757624459762405533458664988184456914636686258454404949549968700450 8139437889197702684898902443936383080595915199220866469511373155616 6617607535680994360585850739568373540720252584323389988899649900190 8931299944576340123954631930356150461954218991190679224661653482599 3263769225236033743448770921832695465974985054345134096091445718768 5157595887321544634598180583701693347876234738694084933814684714142 9326080503669327008877216761824740292951963953758204500872623526492 1644822882492746856549840424819686847238619338885068675083400054093 8186583859999197543548234404239409458845365231343999169605307363350 0643546863709784988273805827763502493627180899506777101774863513047 8543071758206213722339347356320560816455709504812900091260835716297 6453781288941911812535066139431643241370914351796005454138120411217 6706397845972429712049991043769043628997216795501175490643449628580 31943637846778777932854602623994840135817954090654485090843973910
56	`-1`	`(p+1)²`	`2`	1.41422	37, 776, 1171	(-)
	`[0, -1, 2, -2, 2, -1, -2, 5, -4, -1, 6, -10, 10, 1,...]`
1.26655850147152857161454711262964084539556023545734482112196732954 8396106075164086888172090423682152042130133177556456904938713720080 2096479605806188603065820448387222898294409404328488155656866383633 5416937627930828575213765283708246485128846009815689013286583242683 3314030400321177651324065849966876159589567596131481579634630831766 0073905695113527783561884709052468311858769451589228438938520140332 5066713926952934889886968312890027278787502283269076885784730371917 3146148290195948656618415214829307462240692835924781323013568692464 3688018860471272413222458883644357950250723457977881519725540637565 6259611022868254716662421129844357217266908362057716870238391598715 9167432949229621886988878063509606389750177935369860253754302708941 7635033818052333257571728651007386398983568722725707752141315707394 4919114111532452628912880450374022356545651169457729407239432182840 0229886565933740087136704237466362769693028464594252662861755784145 13971532573348142773261390421089163379886913764217739775090732884
57	`-1`	`p(p²-1)`	`2`	1.32472	31, 779, 1148	(-)
	`[0, 0, -1, 0, -1, 1, -1, 1, -1, 2, -2, 2, -3, 4,...]`
1.23129114888860356277478765127203370986369459456171534124831128756 9269607974108678072211404933527823291297097192108457987954095461261 3884956878053581295785815681681270279668139076399640847717353566591 2571848337077427714182319124083720942435911443887093113835773399442 3875915945788077429588230478311759941659613049874233501091488204783 2905499071218930461745455313514549706762636670075932658328302471481 0951081448457940683678874831697290493326494940931361360137593998274 8351635889731003155008915519194715634848897152308775807448517409070 1744517830826262519654868841729971781716851761325701495930170747134 4580901249409487114469324918787153681908166323193553021660936964768 6830475001226201064753493440460733191413800189725483216880718066308 5561410087361833353581742596248372998384867605204242440097871073309 4183055881959844939542575394976815687238559129272573299741827019936 9773293298467669812870795730655660441698428216580061464552676577586 30800901288689034199929280071951190624591970602275388304415387848
60	`-1`	`p²-p-1`	`2`	1.61804	41, 769, 1215	(-)
	`[0, -1, -1, -1, -2, -2, -4, -5, -8, -11, -18, -25, -40, -58,...]`
2.67411272557002150896041183044548803750239862839769198520081904196 0865956105302868644850929717348578519839870819082581175645197795130 0720858197570026048740744374350030154584945435909766991967515056868 7430328856661805041161673450842742059760151489075390053301546127659 3783556225988772530739749519554688141842127808317604205956071145167 5132544000742498957771567694368660317162811745653191769705533689329 5605930723462725579703242894478465606554197638618476093093976621559 4310762504055637901069973761551635537359479816462559362839770982216 1834223416119016488894971266790244512569266265711256565907824129026 8977284619300836568609942617112093124046703100235344810989388332333 0796715191661401987530672986998270735953000507134823918348445129756 5705975139123522806152253550598379990076429100244803603114812733567 5266462086669806190804951059287851627887525794450207133080135836102 3268471021287335168561548235935406164888433033337639229794011840242 11202658760927909593672605147902917618630857641813293839834201111
61	`-1`	`p²+p-1`	`2`	1.61804	41, 769, 1215	(-)
	`[0, -1, 1, -1, 2, -3, 4, -5, 8, -13, 18, -25, 40, -62, 90,...]`
1.41956288050548591931723586178973535916607158630512254269898369556 4330971339471608639940369480279492214138451967878314090054767625063 0807074340049217417678990691082808593046832634168424179209830570476 2430433428003801941918557201192743089623509228229823952037768301490 3240015015173662808999458274503746429751350865716867835400596380028 5492793677264018869437672814971299941509360804705274607286432849975 7750343323649906148154969883120219044633810734437475647151899537938 8861220235945383602601186010722213093428215280746285049406215639264 7929087117772553594313894003313206412876330371756711022927278388451 8693280095087995973688859582841003354837334965909919464926046618079 6563119874453825742627637260257644860805739130243399716793921039901 5293640157700605550928033294820493834040447531953159483347030243506 7275065805058434226002768730882744367581883240240198780329419033308 5668571175532381329487175260104022823824697687122081343774953526328 73767808495103014386710322372094944222354435620748770877659533665

Some number-theoretical constants:1000-digit values

The Big Table

Some number-theoretical constants:
1000-digit values