Nima Rasekh's Akademische Webseite
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Spread the word: Ihr seid (oder kennt) Bachelor-Studierende mit Migrationshintergrund? Dann könnte diese Stipendium vielleicht eine gute Option sein. Gerne weiter sagen.
Ich bin zurzeit Postdoktorand am Max-Planck-Institut für Mathematik.
Mehr Information findet man:
Ich bin ein Homotopietheoretiker, was bedeutet, dass ich gerne verstehe, wie zwei Dinge gleich sind. Homotopisches Denken hat bereits viele Anwendungen in der Mathematik gefunden, wie Algebra, Geometrie und mathematische Physik, und ich freue mich immer darauf, neue Anwendungen und Verbindungen zu entdecken. Für einen besseren Einblick in das homotopische Denken, empfehle ich dieses ausgezeichnete Artikel von Emily Riehl, der den Aufstieg der höheren Kategorientheorie diskutiert, oder diesen anderen allgemeinen wissenschaftlichen Artikel über die Natur der Gleichheiten. Hier ist auch ein sehr verständliches deutsches Artikel über Kategorien.
In meiner Leidenschaft, das homotopische Denken einem breiteren Spektrum von Mathematikern und Informatikern zugänglicher zu machen, verfolge ich jetzt auch die Formalisierung der Mathematik und insbesondere homotopischer Strukturen. Mehr Details über meine Formalisierungen sind auf Github Seite finden.
Ich habe auch eine Vorlesung zur Homotopietheorie und höheren Kategorientheorie gehalten, dessen Inhalt ich in der Zukunft erweitern möchte. In der Zwischenzeit gibt es hier den Skript der Vorlesung.
Vor meiner jetzigen Position in Bonn war ich drei Jahre lang als collaborateur scientifique (Postdoktorand) an der École Polytechnique Fédérale de Lausanne wo ich in der Forschungsgruppe von Kathryn Hess gearbeitet habe. Ich war der Doktorand an der University of Illinois at Urbana-Champaign unter der Leitung von Prof. Charles Rezk.
E-Mail: rasekh [at] mpim-bonn.mpg.de
Büro: B25
Address:Vivatsgasse 7, 53111 Bonn
Hier ist eine Zusammenfassung einiger Spread the word: You are (or know) a Bachelor student in Germany with ``migration background" (Migrationhintergrund)? Consider applying (or encouraging to apply) to this stipend.
meiner laufenden Forschungsprojekte und Formalisierungen, die ich verfolge:
- Limes in (∞,n)-Kategorien (mit Lyne Moser und Martina Rovelli) Papier 1 - Papier 2 - Papier 3 - Vortragsfolien - Vortragsaufzeichnung (von Lyne Moser):
Entwicklung einer Theorie der Limes für schwache Modelle von (∞,n)-Kategorien unter Verwendung von zweikategorialen Methoden und Kegeln, die sowohl aktuelle zweikategoriale Entwicklungen als auch (∞,1)-kategoriale Darstellungen von Limes verallgemeinert. Eine Definition ist jetzt in der Arbeit (∞, n)-Limits I: Definition and first Consistency Results enthalten. Im Rahmen dieser Arbeit haben wir auch zwei Papiere veröffentlicht, in denen das erforderliche (∞,n)-kategoriale Hintergrundwissen dargelegt ist: A homotopy coherent nerve for (∞,n)-categories und An (∞,n)-categorical straightening-unstraightening construction.
- Geometrische Strukturen auf verdichteten Anima (mit Qi Zhu) Vortragsnotizen:
Herstellung relevanter topos-theoretischer Eigenschaften von verdichteten Anima, die in der von Clausen und Scholze etablierten verdichteten Mathematik eine wichtige Rolle spielen.
- Formalisierung von Doppelkategorien in Coq Unimath (mit Benedikt Ahrens, Paige North und Niels van der Weide) Vortragsfolien 1 - Vortragsfolien 2 - Vortragsnotizen:
Formalisierung von Doppelkategorien in Coq UniMath mit dem Ziel, angemessene Univalenzprinzipien festzulegen. Eine Übersicht über die verschiedenen univalenten Doppelkategorien kann man in unseren zwei Papieren Univalent Double Categories und Insights From Univalent Foundations: A Case Study Using Double Categories finden.
- Formalisierung von ∞-Kategorien in Rzk:
Beitrag zur Formalisierung von ∞-Kategorien mithilfe des Beweisassistenten Rzk, der erstmals von Nikolai Kudasov, Emily Riehl und Jonathan Weinberger im Rahmen einer typentheoretischen Arbeit von Riehl & Shulman und Buchholtz & Weinberger entwickelt wurde.
- ∞-Kategorien in der Nichtstandard-Mathematik Vortragsnotizen 1 - V 2 - Vortragsnotizen 2Vortragsaufzeichnung:
Analyse von Eigenschaften von ∞-Kategorien intern zu ∞-Topoi mit nicht-standardmäßiger interner Logik, was Ergebnisse von Martini & Wolf verallgemeinert und auf meiner Arbeit zu Filterquotient ∞-Topoi aufbaut.
Eine chronologische Liste meiner Arbeiten kann man auf meiner ArXiv Webseite oder meiner Google Scholar Webseite finden. Thematisch, hat meine Arbeit drei allgemeine Themen:
Formalisierung der Homotopietheorie:
- Insights From Univalent Foundations: A Case Study Using Double Categories - Formalization in Coq Unimath,
mit Benedikt Ahrens, Paige North und Niels van der Weide:
Wir setzen unsere Untersuchung der Univalenz-Eigenschaften verschiedener Begriffe von Doppelkategorien fort. Im Rahmen dieser Arbeit führen wir die "Univalenz-Maxime" für kategoriale Strukturen ein, die eine Korrespondenz zwischen kategorialen Begriffen und Äquivalenzen herstellt. Mit dieser Methode erhalten wir insbesondere strikte Doppelmengenkategorien (invariant unter Isomorphismen), Pseudo-Doppelmengenkategorien (invariant unter Isomorphismen), univalente Pseudo-Doppelkategorien (invariant unter vertikalen Äquivalenzen), Verity-Doppelbikategorien (invariant unter Isomorphismen) und univalente Verity-Doppelbikategorien (invariant unter geselligen Äquivalenzen).
- Univalent Double Categories - Formalisierung in Coq Unimath - Vortragsfolien 1 - Vortragsfolien 2 - Vortragsnotizen,
mit Benedikt Ahrens, Paige North und Niels van der Weide,
Publiziert in Certified Programs and Proofs 2024, doi:
Wir entwickeln eine mögliche Definition einer univalenten Doppelkategorie, motiviert durch Pseudodoppelkategorien. Insbesondere beschreiben wir mehrere äquivalente Definitionen, konstruieren mehrere nichttriviale Beispiele und konstruieren die univalente Bikategorie der univalenten Doppelkategorien.
- Constructing Coproducts in locally Cartesian closed ∞-Categories - Vortragsfolien - Vortragsaufzeichnung,
Publiziert in Homology, Homotopy and Applications, doi:
mit Jonas Frey:
Wir zeigen, dass lokal kartesisch geschlossene ∞-Kategorien mit Unterobjekt-Klassifizierer ein Anfangsobjekt und Koprodukte haben, die ein bekanntes Ergebnis der elementaren Topostheorie verallgemeinern.
- Univalence in Higher Category Theory:
Wir untersuchen Univalenz in lokal kartesisch geschlossenen ∞-Kategorien unter Verwendung interner ∞-Kategorien (als vollständige Segal-Objekte), indem wir eine Definition von Gepner und Kock im präsentierbaren Rahmen verallgemeinern.
- Filter Quotients and Non-Presentable (∞,1)-Toposes - Vortragsskript - Vortragsfolie 1 - Vortragsfolie 2,
Publiziert in Journal of Pure and Applied Algebra, doi:
Wir verallgemeinern die Filterquotientenkonstruktion von elementaren Toposen auf (∞,1)-Kategorien, um neue nichtpräsentierbare (∞,1)-Topoi zu konstruieren.
- Truncations and Blakers-Massey in an Elementary Higher Topos - Vortragsskript - Vortragsfolie 1 - Vortragsfolie 2 - Vortragsfolie 3 - Vortragsaufzeichnung:
Wir beweisen, dass jeder elementare höhere Topos einen universellen Trunkierungsfunktor hat, der die Join-Konstruktion verwendet. Außerdem zeigen wir, dass er das Blakers-Massey-Theorem erfüllt.
- Yoneda Lemma for Elementary Higher Toposes:
Wir beweisen, dass jedes Objekt in einem elementaren höheren Topos in sein ``Objekt der Morphismen'' einbettet. Dies entspricht dem Yoneda Lemma für Räume.
- Every Elementary Higher Topos has a Natural Number Object - Vortragsskript - Vortragsfolien,
Publiziert in Theory and Applications of Categories:
Wir berechnen den Schleifenraum des Kreises und verwenden diesen, um zu zeigen, dass jeder elementare höhere Topos ein Objekt der natürlichen Zahl und interne abzählbare Limes und Kolimes hat.
- A Theory of Elementary Higher Toposes - Vortragsskript:
Wir definieren einen elementaren höheren Topos und zeigen, dass er elementare Topoi und höhere Topoi verallgemeinert.
- Complete Segal Objects - Vortragsskript - Vortragsaufzeichnung (vom Workshop im Fields Institute):
Wir definieren eine interne Version einer höheren Kategorie und zeigen, dass sie die gleichen Eigenschaften wie eine höhere Kategorie hat (wie Objekte, Morphismen, Komposition, ...). Dann verwenden wir sie, um Univalenz zu definieren.
Limes in (∞,n)-Kategorien:
- (∞,n)-Limits I: Definition and first Consistency Results,
mit Lyne Moser und Martina Rovelli:
Wir stellen eine Definition von Limes in einer (∞, n)-Kategorie vor, die gleichzeitig 2-kategorische und (∞, 1)-kategorische Limes verallgemeinert.
- An (∞,n)-categorical straightening-unstraightening construction,
mit Lyne Moser und Martina Rovelli:
Wir verallgemeinern die Straightening-Konstruktion, die ursprünglich auf Lurie zurückgeht, auf (∞,n)-Kategorien, indem wir eine Quillen-Äquivalenz zwischen strikt angereicherten Funktoren aus der Kategorisierung und doppelten (∞,n-1)-Fibrationen über einer gegebenen n-Segal Vorkategorie konstruieren.
- A homotopy coherent nerve for (∞,n)-categories,
mit Lyne Moser und Martina Rovelli,
Publiziert in Journal of Pure and Applied Algebra, doi:
Wir konstruieren einen homotopisch kohärenten Nerv von angereicherten Kategorien zu Segal-Kategorien und beweisen, dass er uns eine Quillen-Äquivalenz liefert.
- Twisted Arrow Construction for Segal Spaces,
mit Chirantan Mukherjee:
Wir geben eine explizite Beschreibung der verdrehten Pfeilkonstruktion im Rahmen vollständiger Segal-Räume, wobei wir nur grundlegende Merkmale der Modellstruktur vollständiger Segal-Räume verwenden.
- Yoneda Lemma for D-Simplicial Spaces-Vortragsaufzeichnung-Vortragsfolien:
Wir definieren kartesische Faserungen für mehrere Modelle von (∞, n)-Kategorien, wie z.B. n-fache vollständige Segalräume. Wir untersuchen verschiedene Eigenschaften dieser Faserungen und beweisen insbesondere eine Grothendieck-Konstruktion.
- Quasi-Categories vs. Segal Spaces: Cartesian Edition,
Publiziert in Journal of Homotopy and Related Structures, doi:
Wir verallgemeinern die Äquivalenz zwischen Quasi-Kategorien und vollständigen Segalräumen von Joyal und Tierney zu einer Äquivalenz zwischen den kartesischen Faserungen.
- Cartesian Fibrations of Complete Segal Spaces,
Publiziert in Higher Structures, doi:
Wir definieren einen Begriff der kartesischen Faserungen für vollständige Segal-Räume, indem wir den Ansatz der vollständigen Segal-Objekte für rechte Faserungen verwenden.
- A Model for the Higher Category of Higher Categories,
Publiziert in Theory and Applications of Categories:
Wir konstruieren vollständige Segal-Räume, die simpliziale Räume, Segal-Räume, vollständige Segal-Räume und Räume mit ihren universellen Fibrationen modellieren.
- An Introduction to Complete Segal Spaces:
Dies ist eine sehr intuitive Einführung in die höhere Kategorientheorie über vollständige Segalräume. Es werden Themen wie Komposition, Funktorialität, Adjunktionen und Kolimes behandelt.
- Cartesian Fibrations and Representability -Vortragsskript 1 - Vortragsskript 2 - Vortragsskript 3,
Publiziert in Homology, Homotopy and Applications, doi:
Wir stellen eine neue Methode zur Untersuchung der Darstellbarkeit von kartesischen Faserungen vor und verallgemeinern dabei bestehende Darstellbarkeitsergebnisse für rechte Faserungen. Dies erlaubt uns insbesondere, darstellbare kartesische Faserung zu definieren.
- Yoneda Lemma for Simplicial Spaces:
Publiziert in Applied Categorical Structures, doi:
Wir untersuchen die Theorie der linken Faserungen über simplizialen Räumen, indem wir zeigen, dass linke Faserungen fibrantierte Objekte in einer Modellstruktur sind. Wir verwenden dies, um das Yoneda-Lemma für simpliziale Räume zu beweisen.
Homotopiekohärente Hochschild Homologie:
- Shadows are Bicategorical Traces-Vortragsaufzeichnung-weitere Vortragsaufzeichnung-Vortragsfolien-weitere Vortragsfolien
mit Kathryn Hess:
Wir charakterisieren Schatten, die ursprünglich auf Ponto zurückgehen, als angereicherte THH und verwenden dies, um einen alternativen Beweis für die Morita Invarianz zu liefern.
- The cotangent complex and Thom spectra,
Publiziert in Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, doi
mit Bruno Stonek:
Wir verwenden die Ergebnisse der vorherigen Arbeit, um den Kotangens-Komplex von Thom-Spektren zu berechnen und verallgemeinern damit ein Ergebnis von Basterra und Mandell. Im Rahmen der Arbeit vergleichen wir auch verschiedene Definitionen von Kotangens-Komplexen, die in der Literatur zu finden sind, mit Methoden aus der Goodwillie-Calculus.
- Thom spectra, higher THH and tensors in ∞-categories-Vortragsskript-Vortragsfolie,
Publiziert in Algebraic & Geometric Topology, doi
mit Bruno Stonek und Gabriel Valenzuela:
Wir berechnen Tensor und insbesondere THH von Thom-Spektren unter Verwendung von Tensoren präsentierbarer ∞-Kategorien, aufbauend auf Arbeiten von Gepner, Groth und Nikolaus. Das insbesondere verallgemeinert und vereinfacht ein Ergebniss von Schlichtkrull.
Andere Arbeiten:
- Analyzing RGB Images using Topology mit Ruth Davidson, Chuan Du, Rosemary Guzman, Adarsh Manawa und Christopher Szul:
In diesem Vortrag erörtern wir, wie ein an der Australian National University entwickelter Code zur Bildanalyse mit der diskreten Morse-Theorie eingesetzt werden kann. Wir zeigen, wie der Code in zwei verschiedenen Szenarien verwendet werden kann: Wasserknappheit und Kriminalitätsdaten.
- RGB image-based data analysis via discrete Morse theory and persistent homology mit Ruth Davidson, Chuan Du, Rosemary Guzman, Adarsh Manawa und Christopher Szul:
Wir verwenden einen an der ANU entwickelten Code, der grundlegende topologische Merkmale eines Graustufenbildes erkennen kann und ihn so verbessert, dass er auch RGB-Bilder analysieren kann. Dadurch können wir Datenanalysen direkt auf RGB-Bildern durchführen, die die Variabilität der Wasserknappheit und der Kriminalität darstellen.
- An Introduction to TFTs:
Dies ist ein Vortrag, den ich im Homotopieseminar für promovierende Studierende gehalten habe. Ich führe in die Grundbegriffe der topologischen Feldtheorien ein und zeige, dass selbst einfache Berechnungen die Verwendung höherer kategorialer Methoden erfordern.
- A New Approach to Straightening:
Dies sind meine Folien für den Vortrag, den ich auf der GSTGC (Graduate Student Geometry Topology Conference) 2016 gehalten habe. Ich zeige eine Methode, um die Unstraightening Konstruktion einem größeren mathematischen Publikum vorzustellen.
- Ich habe meine Promotion Vorprüfung am 3. März 2015 abgelegt. Hier sind mein Vorprüfungsplan und die Folien meines Vorprüfungsvortrags.